Proporcionalidad y Funciones

Función de Proporcionalidad Directa

Cuando las variables independiente y dependiente son proporcionales, es decir cuando aumenta la variable independiente la variable dependiente lo hace en la misma proporción, y cuando disminuye la variable independiente la variable dependiente lo hace también en la misma proporción, entonces la función que las relaciona se dice que es de proporcionalidad directa.

Ejemplo: supongamos la función y = 2x

Este tipo de funciones en los que la variable dependiente es igual a la variable independiente multiplicada por un coeficiente, su representación gráfica es una recta.

La pendiente de la recta es igual al coeficiente de la variable independiente.

En el ejemplo, este coeficiente es el 2, luego la variable dependiente se incrementa (o disminuye) el doble de lo que lo haga la variable independiente.

Si el coeficiente es mayor la pendiente de la recta aumenta, si es menor la pendiente disminuye.

Ejemplo con y = 4x

Ejemplo con y = 0,5x

Si este coeficiente tiene valor negativo la pendiente es negativa, por lo que sería una recta decreciente.

Ejemplo con y = -2x
(pendiente = -2)

Si la función no lleva término independiente la recta pasa por el origen de coordenadas. Tal como hemos visto en los ejemplos anteriores.

Si la función lleva un término independiente, por ejemplo y = 2x + 5, la representación gráfica también es una recta pero no pasa por el punto de coordenadas sino que corta el eje vertical en el valor del término independiente, en este caso en el punto 5 (para x = 0, y = 5).

Ejemplo con y = 2x - 5

Si la función es del tipo y = 3, quiere decir que el valor de y no depende de la x, sino que siempre vale 3, con independencia del valor que tome la x. Su representación es una línea horizontal que corta el eje vertical por el punto 3.

Calcular la función de una recta
De igual manera que a partir de la función podemos calcular los pares de valores que definen la recta. A partir de un par de punto podemos deducir la función que origina dicha recta.

Por una parte sabemos que cuando x=0, y =-2, luego el término independiente es -2.

Por otra parte podemos calcular la pendiente o coeficiente de la variable independiente:

Si x=0, y =-2
Si x = 5, y=13

Es decir, que si “x” se incrementa en 5 (pasa de 0 a 5), “y” se incrementa en 15 (pasa de -2 a 13), luego la pendiente es igual:
Pendiente = Incremento“y” / Incremento “x” = 15 / 5 = 3
Luego la función que define esta recta es: y = 3x – 2

 

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Medida

Área de la Corona Circular - Cálculo del Área del Sector Circular - Cálculo del Área del Trapecio Circular

 

Llamamos corona circular a la parte del plano comprendida entre dos circunferencias que tienen el mismo centro:

La zona coloreada del plano es la corona circular.
Para saber su superficie necesitas conocer las medidas del radio mayor y la del radio menor.
Primero calculas el área de un círculo con el radio mayor, seguidamente el área del círculo con el radio menor y hallas su diferencia. Esta diferenta representa la corona circular:

Como observarás, hallas la diferencia de los cuadrados de los radios y multiplicas por π 

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Ejercico 1) Halla el área (datos en centímetros) de la región en color rojo de la siguiente figura:

Respuesta:

CÁLCULO DEL ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR

Primeramente tenemos que saber que es un sector, zona, porción, parte, etc., circular.
Sencillamente es una parte, zona del círculo que está comprendida entre DOS RADIOS Y EL ARCO comprendido entre ambos.
Lo verás que es un concepto muy sencillo al comprobar la figura:

El sector circular es la superficie del círculo comprendida entre dos radios y el arco.
Para el cálculo de su área son suficientes dos datos, la medida del radio y el ángulo que forman los dos radios.
Con una simple regla de tres obtienes el resultado:

Ejercico 2)  Calcula la superficie del sector circular correspondiente a la figura anterior.

Respuesta:
Solución
Si a 360º corresponde una superficie de a 117º corresponderá una superficie de .

Ejercicio 3)  Calcula el área del sector circular cuyo ángulo central mide 60º y el radio del círculo 5 cm.
Respuesta:

CÁLCULO DEL ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR

Primero tenemos que saber qué es un trapecio circular, simplemente, un trapecio en el que sus bases son curvas.
Observa la siguiente figura:

La zona en color azul es el área de un trapecio circular. Comprobarás que las bases son curvas.

Para calcular el área de la superficie de color azul hallamos primero el área del círculo de mayor radio que lo representamos por R, seguidamente el área del círculo de menor radio que lo representamos por r.
Hallamos su diferencia y obtenemos el área de la corona circular:

La zona coloreada es el área de la corona circular que corresponde a un ángulo central de 360º.
En el caso del cálculo del área del trapecio circular tendremos que saber el área de corona circular que corresponde a un determinado ángulo, tal como lo tienes en la siguiente figura:

Ejercicio 4)  Calcula el área de la zona coloreada de la última figura, teniendo en cuenta los datos de contiene (en centímetros).

Respuesta:

La superficie calculada corresponde a 360º y lo que tenemos que hacer es calcular la superficie correspondiente a 94º.
Para ello hacemos uso de la regla de tres:

A 360º corresponde una superficie de

a 94º corresponderán……………….

Ejercicio 5) Calcula el área del trapecio circular cuyas medidas son: R = 3 cm., r = 1,5 cm., y el ángulo central 104º.

Respuesta:

Poligonos que permiten cubrir un plano

Poligonos que permiten cubrir un plano

Teselado

Los términos teselaciones y teselado¹ hacen referencia a una regularidad o patrón de figuras que recubren o pavimentan completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:

1. Que no queden espacios.
2. Que no se superpongan las figuras.

Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial, es decir, copias idénticas de una o diversas piezas o teselas con las cuales se componen figuras para recubrir enteramente una superficie.
Distintas culturas a lo largo de la historia han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.

• Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas.
• Arquímedes, en el siglo III a. C., hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano.
• Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra Harmonice mundi, de 1619. Además, realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos platónicos.
• Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan, el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov y la psicóloga Camila Rial estudiaron completamente las simetrías del plano, e iniciaron así el estudio sistemático y profundo de los teselados.
• Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972), quien, por sugerencia de su amigo el matemático H. S. M. Coxeter, aprendió los teselados hiperbólicos, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra, en Granada. Llegó a un sinnúmero de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte

Teselados regulares

Artículo principal: Teselado regular

Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares.
En cada vértice la suma de ángulos es de 360º, para que no queden espacios:

• 

  Triángulos equiláteros
  
• 

  Cuadrados
  
• 

  Hexágonos
  

Suma de los Angulos interiores de un Polinomio

Suma de los angulos interiores de un Poligono

¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de un Polígono Regular?

Si observas las figuras que tienes a continuación:

ves que en el caso del triángulo vale 180º.En el caso del cuadrado el total de grados es de 360º.En el caso del pentágono la suma de los ángulos interiores es de 540º¿Hay que aprenderse de memoria el valor de la suma de los ángulos interiores de CADA polígono regular?. NO

Te basta con hacer un cálculo muy sencillo:

1º cuenta el número de lados
2º al número obtenido de contar los lados réstale 2
3º al valor de la diferencia anterior multiplícale por 180 El producto obtenido es la suma de los grados de un polígono regular.15.61 ¿Cuántos grados suman los ángulos interiores de un polígono de 5 lados o pentágono?Respuesta: 540º

Solución:

Hallo la diferencia:

Este valor lo multiplico por 180º:

Daría lo mismo que multiplicar 108º que vale cada ángulo del pentágono regular por los 5 que tiene:

15.62 ¿Cuántos grados suman los ángulos interiores de un tetradecágono o polígono de 14 lados?Respuesta: 2160º

Daría lo mismo que multiplicar el valor de un ángulo de un tetradecágono regular que es de 154º17’9’’ por los 14 ángulos interiores iguales que tiene:

¿POR QUÉ LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO REGULAR VALE: número de lados menos 2 por 180º?

Vamos a fijarnos en la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo:

Cualquiera que sea la forma de un triángulo, la suma de sus ángulos interiores vale 180º. Si sumas los valores de los ángulos interiores de cualquiera de los triángulos anteriores comprobarás que siempre suman 180º.

A continuación tienes dos polígonos, uno de 9 lados (ENEÁGONO) y el otro de 14 (TETRADECÁGONO).

En el primer polígono hemos dibujado 7 triángulos y como cada triángulo tiene 180º, los ángulos interiores de un eneágono valdrán:

En el segundo polígono hemos dibujado 12 triángulos y como cada uno tiene 180º, los ángulos interiores de un tetradecágono valdrán:

En cualquier polígono (de más de tres lados) puedes dibujar triángulos. Para dibujar un triángulo necesitas tres lados. Con un cuadrado puedes dibujar 2 triángulos; con un pentágono 3; en un hexágono 4; en un heptágono 5, etc.

Vemos que el número de triángulos obtenidos en cada polígono es igual al número de lados menos 2. Como los grados de un triángulo valen 180º, basta con multiplicar este número por el de lados menos dos.

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