Areas

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Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos

Figura	Esquema	Área	Volumen
Cilindro
Esfera
Cono
Cubo		A = 6 a2	V = a3
Prisma		A = (perim. base • h) + 2 • area base	V = área base • h
Pirámide

Poliedros regulares

Figura	Esquema	Nº de caras	Área
Tetraedro		4 caras, triángulos equiláteros
Octaedro		8 caras, triángulos equiláteros
Cubo		6 caras, cuadrados	A = 6 a2
Dodecaedro		12 caras, pentágonos regulares	A = 30 · a · ap.
Icosaedro		20 caras, triángulos equiláteros

Una piscina tiene 5,0 m de largo, 4,0 m de ancho y 3,0 m de profundidad. a)¿Qué capacidad, en litros, tiene la piscina? b)Si se desea cubrir su superficie con losas cuadradas de 25 cm de lado, ¿cuántas se necesitarán? Para dar respuesta a este problema es necesario conocer las fórmulas que nos permiten calcular el volumen y el área de un cuerpo geométrico, en este caso el prisma recto, que es la forma que tiene la piscina. Frecuentemente necesitamos hacer también estos cálculos para otros cuerpos conocidos por ti y que observas frecuentemente a tu alrededor, precisamente en este capítulo conocerás estas fórmulas y mucho más sobre ellos.

Sumario
-Prisma. Definición y elementos
-Volumen y área total del prisma
-Pirámide. Definición y elementos
-Volumen y área total de la pirámide

-Actividades de continuidad

-Otros recursos

Si colocas un triángulo de papel sobre una mesa, este queda contenido totalmente sobre ella, o sea, todos los puntos del triángulo son puntos también del plano que contiene a la mesa. Es por ello que el triángulo es una figura plana, al igual que otras figuras ya estudiadas por ti.

La geometría que se dedica al estudio de estas figuras y sus propiedades se denomina “Geometría Plana”.

Sin embargo hay otras figuras como el prisma, la pirámide, el cono, el cilindro y la esfera que si son colocados sobre un plano, una parte queda sobre él, pero la otra no, en este caso no todos los puntos de la figura están contenidas en ese plano. Esto se debe a que son cuerpos tridimensionales, a la geometría que estudia estos cuerpos y sus propiedades la llamamos “Geometría del Espacio”o “Estereometría”.

Llamamos cuerpos geométricos a la región del espacio limitada por superficies planas, curvas, o por la combinación de ambas, incluídas estas.

PRISMA

En la figura que se muestra las bases son ABCD y BCGF, y a las caras ABFE, BCGF, DCGH y ADHE se les denomina caras laterales.

Los lados de las caras reciben el nombre de aristas del prisma, en particular las aristas de las caras laterales se denominan aristas laterales y sus extremos son los vértices A, B, C, D, E, F, G y H.

La altura de un prisma es el segmento de perpendicular comprendido entre las dos bases del prisma (también a su longitud). En el caso de un prisma recto la altura coincide con la arista lateral.

VOLUMEN Y ÁREA TOTAL DE UN PRISMA

Para calcular el volumen y el área de un prisma se pueden utilizar las siguientes fórmulas:

En ambas expresiones la fórmula para el área de la base varía según el polígono que se encuentre en la base del prisma.

 El área lateral es la suma de las áreas de las caras laterales. Si la base es cuadrada sus cuatro caras laterales serán rectángulos iguales y la fórmula sería A_L = 4A, pero si la base es un rectángulo, podemos escribir A_L = 2(A₁ + A₂), ya que las caras opuestas son iguales.

También el área lateral de un prisma recto se puede calcular utilizando la fórmula del producto del semiperímetro de la base por la altura, o sea, A_L = p . h.

Para ver cómo se aplican estas fórmulas a la resolución de problemas, retomamos el ejercicio inicial como ejemplo.

Ejemplo: Una piscina tiene 5,0 m de largo, 4,0 m de ancho y 3,0 m de profundidad.

a) ¿Qué capacidad, en litros, tiene la piscina? b) Si se desea cubrir su superficie con azulejos cuadrados de 25 cm de lado, ¿cuántas se necesitarán?

En este inciso a, utilizamos la fórmula para calcular volumen de un prisma. Como tenemos todos los datos, sustituimos y calculamos.
La respuesta se pide en litros y trabajamos con metros cúbicos, luego es necesario determinar las conversiones que observas en el recuadro. Observa que para llevar de metros cúbicos a decímetros cúbicos se multiplica por 1000.
En este caso no damos la respuesta con la cantidad de cifras, ya que la respuesta se exige en litros.

Para este inciso b, debes analizar que la piscina no tiene base superior, luego en la fórmula solo se coloca el área de la base una vez. El área lateral se calcula de esa manera, ya que la base es rectangular y las caras opuestas son iguales.

 Para calcular la cantidad de azulejos debemos dividir la superficie a cubrir por la superficie de un azulejo, pero deben estar expresados en la misma unidad de medida.

PIRÁMIDE

En la figura que se muestra la base es ABCD y a las caras ABS, BCS, DCS y ADS se les denomina caras laterales.
 Los lados de las caras reciben el nombre de aristas de la pirámide, en particular las aristas de las caras laterales se denominan aristas laterales  y sus extremos son los vértices A, B, C, D y S.
 La altura de una pirámide es el segmento de perpendicular comprendido entre el vértice superior y la base de la pirámide (también a su longitud). En el caso de un prisma recto la altura coincide con el centro de la base.

VOLUMEN Y ÁREA TOTAL DE UNA PIRÁMIDE

Para calcular el volumen y el área total de una pirámide se pueden utilizar las siguientes fórmulas: En ambas expresiones la fórmula para el área de la base varía según el polígono que se encuentre en la base de la pirámide.

El área lateral es la suma de las áreas de las caras laterales. Si la base es cuadrada sus cuatro caras laterales serán rectángulos iguales y la fórmula sería A_L = 4A, pero si la base es un rectángulo, podemos escribir A_L = 2(A₁ + A₂), ya que las caras opuestas son iguales.

Veamos un ejemplo de aplicación de estas fórmulas.

Ejemplo: Una pirámide tiene base cuadrada de 6,0 dm de lado y su altura es de 4,0 dm.

1. a)Calcula su volumen.
2. b)Si la altura de sus caras es de 5,0 dm, halla su área lateral.
3. En el inciso a, como la base es cuadrada tomamos su fórmula, y la altura es la de la pirámide, no la de la cara.
   

Para el b, sí tomamos la altura de la cara para calcular el área de uno de los triángulos laterales. Como la base es cuadrada multiplicamos el resultado por cuatro y eso nos da el área lateral.

En ambos casos la cantidad de cifras en la respuesta coincide con la de los datos, luego se agrega solamente la unidad de medida.

Recuerda que:

• El área se da en unidades cuadradas y el volumen en unidades cúbicas.
• Al calcular debes dar la respuesta con la menor cantidad de cifras que tengan los datos.
• Cuando un cuerpo es hueco y admite líquido, arena u otro material, hablamos de su capacidad y se calcula utilizando la misma fórmula que para el cálculo del volumen.
• Al calcular el área y el volumen de cuerpos y necesites convertir la respuesta a otra magnitud, ten en cuenta por qué potencia de 10 tienes que multiplicar o dividir.

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