Potencias

Potencias

Una potencia es una forma abreviada de expresar un producto de factores iguales. También recibe el nombre de potencia el producto que resulta de multiplicar una cantidad o expresión por sí misma una o más veces.

Términos de la potencia

• Exponente: número de veces que se repite el factor que se multiplica.
• Base: factor que se repite.

Utilidad

• 1. Para la escritura abreviada de productos de factores iguales de forma más cómoda como suele ocurrir cuando calculamos el volumen de un cubo.
    V = 2³ en vez de V = 2 ∙ 2 ∙ 2
  
  Suele utilizarse en el cálculo de superficies cuadradas (elevado al cuadrado) y en volúmenes de cubos (elevado al cubo).

• 2. Las potencias del número 10 son de gran utilidad para simplificar la escritura de números grandes:
   
  • Un millón: 10⁶
  • Un año luz: 946 728 ∙ 10⁷ km
  • Número de átomos de un gramo de plata: 56 ∙ 10²⁰ átomos
  • Número aproximado de estrellas de nuestra galaxia: 10¹¹ estrellas
  • Población mundial aproximada: 7 ∙ 10⁹ habitantes

Potencias de base 10. Para pasar la unidad seguida de ceros a potencia de base 10 basta con escribir 10 y de exponente el número de ceros que acompaña a la unidad. 1 000 000 = 10⁶
Cómo simplificar números grandes:
Redondeamos el número hasta la cifra que deseemos dejar visible: 9 467 280 000 000 → 9 500 000 000 000
Descomponemos el número en un producto: 95 ∙ 100 000 000 000
Transforma el segundo factor en potencia de base 10: 95 ∙ 10¹⁰


Lectura de potencias

• Cuando el exponente es 2 se lee elevado al cuadrado.
   
  • 5² – cinco elevado al cuadrado
• Cuando el exponente es 3 se lee elevado al cubo.
   
  • 7³ – siete elevado al cubo
• Con el resto de los exponentes se realiza la lectura del cardinal o del ordinal correspondiente.
   
  • 6⁴ – seis elevado a cuatro / seis elevado a la cuarta

Cálculo de potencias
Para calcular una potencia lo podemos hacer tanto manualmente como con la calculadora.

• 1. Manualmente. Para calcular una potencia manualmente debemos multiplicar la base por sí misma tantas veces como nos indique el exponente.
   
  23⁴ = 23 ∙ 23 ∙ 23 ∙ 23 = 279 841 

  Nota: cuando el exponente de la potencia es 0, el resultado es 1. Ejemplo: 4⁰ = 1; 78⁰ = 1

Operaciones con potencias

Generalmente, cuando resolvemos operaciones con potencias lo que solemos hacer es buscar expresiones abreviadas equivalentes.

Producto de potencias de igual base

En el producto de potencias de igual base se deja la base y se suman los exponentes. an ∙ am = an+m

Veamos un ejemplo: 3²∙ 3⁵ = 3 ∙ 3 · 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 3²⁺⁵ = 3⁷

Cociente de potencias de igual base

Para dividir dos potencias de la misma base, se deja la base y se restan los exponentes. an : am = an-m

Veamos un ejemplo:

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. (a ∙ b)n = an ∙ bn

En la resolución de la potencia de un producto podemos optar por dos formas de actuar:

• Buscando una expresión abreviada equivalente: (4 ∙ 5)³ = 4³ ∙ 5³
• Resolvemos buscando una solución:
   
• (4 ∙ 5)³ = 20³ = 20 ∙ 20 ∙ 20 = 8000
• (4 ∙ 5)³ = 4³ ∙ 5³ = 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 64 ∙ 125 = 8000

Se elegirá en cada caso el procedimiento más adecuado.

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor. (a / b)n = an / bn

Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma base y se multiplican los exponentes. (an)m = an·m

Veamos un ejemplo: (3⁴)² = 3⁴ ∙ 3⁴ = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 3^4·2 = 3⁸

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